吉林大学自考本科 计算机应用数学 01332

发布日期:2014-06-19 点击次数:2579

计算机应用数学01332
一.选择题
1．设函数f(x)的定义域是[1,5]，则函数的定义域为[-2,2] 
2．（A为常数），是存在的充要条件
3．（ 1 ）
4．设是无穷大量，则x的变化过程是（x→0-）
5．函数在一点附近有界是函数在该点有极限的必要条件
6.极限   的值为（ 0 ）。 
7.函数f(x)= |x| 在 （ 0，0 ）点处连续 。
8.方程在区间内（有唯一实根）。
9.求导正确的函数是：（ (e-x)/=-e-x  ）  
10.对于函数，在区间上满足拉格朗日中值定理的点是(   ) 。
11．条件是函数y=f(x)的图形在点处有拐点的即非充分也非必要条件
12．= 
13．在计算积分时，为使积分函数有理化，可作变换
14．微分方程的一个特解应具有形式(式中a.b为常数) 
15．设，则( 3 ) 
16.关于函数的说法中，正确的是（奇函数）。
17.当时，与为同阶无穷小的是（）。
18.曲线上一点P的切线经过原点，则点P的坐标为（( e ,1  )）。 
19.下列关于函数f(x)=2x+1(x>0)的奇偶性的说法正确的是（非奇非偶函 ）。 
20.直线L1:   = y  =  和 直线L2:  x=   =  之间的最短距离为（  ）
21.定积分的值为（  20  ）。  
22.设 A,B,C均为n 阶方阵，且 ABC=E ,其中E 为 n 阶单位阵。则必有（ CBA=E ）。
23.设 A为n 阶方阵, B是 A 经过若干次初等变换得到的矩阵, 则有 若|A|=0,则一定有（ |B|=0 ）。
24.下列各式中错误的是（ {x}{x} ）。
25.极限   的值为（ 4 ）。 
26.f(x)=sin(x2-x)是（有界函数）。
27.函数在[0,+)上的单调性是（单调增加）。
28.积分的值为（ ）。  
29.非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（r=m）时，方程组Ax=b有解
30一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0．1，为同一时刻恰有2个设备被使用的概率是（0．0729）
31．设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X=-1}=P{Y=-1}=P{X=1}=P{Y=1}=1/2，则下列各式中成立的是P{X=Y}=1/2 
32.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y不相关的充分必要条件  
33.设X1，X2，……Xn是来自正态总体N(μ,σ)的简单随机样本，是样本均值，记，，，，则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是
34．设，则有 
35．由个命题变元组成不等值的命题公式的个数为  
36．谓词公式
中量词的作用域是
37．欧拉回路是简单回路
38．设Z是整数集，+，. 分别是普通加法和乘法，则（Z, +, .）是整环
39．设（S,）为一格，A为（S,）到自身的所有格同态映射组成的集合，A关于映射的复合运算构成一个独异点
40.行列式 的值为（-33）。
41.设A={a,b} ,则A的幂集为（ {φ,{a},{b},{a,b} } ）。
42.设均为3维列向量，记矩阵
，
，
如果，那么（ 2 ）。
43.当ｘ→0 时，xcosx 是（无穷小量）。
44.下列关于函数单调性的说法正确的是:
（函数f(x)= x+1 （- ∞ <  x  < + ∞）是单调递增函数）。
45.说法正确的是: 设在上连续，且无零点，则在上( 恒为正或恒为负 )。
46.下列几对函数中，与相同的是：（ f(x)=|x| 与）。
47.设f′(x)存在，a为常数，则等于（  ）。
48.已知,则dy等于（  ）。
49.方程sinx=x的根的个数为（ 1个 ）。
50.函数的奇偶性是（ 偶函数 ）。
51.函数的周期是（）。
52.y=lnsinx的导数为（ ctgx ）。 
53.以向量a=(8,4,1)，b=(2,-2,1)为邻边的平行四边形面积为（ 18 ）。
54.过点（1，1，2）且以n=(1,2,1)为法向量的平面方程为（ x+2y+z-5=0  ）。
55.设行向量组，，，线性相关，且，则a的值为（ 1/2  ）。

56.设矩阵Am×n的秩为r(A)＝m<n，E为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是：（若矩阵B满足BA=0，则B=0）。
57.极限   的值为（ 1/2  ）。 
58.定积分的值为（  ）。  
59．若α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则Ax=b必有一个解是2α1－α2
60．设A，B均为n阶矩阵，且秩（A）＝秩（B），则必有（A与B等价）
61．下列二次型中，为二次型f(x1,x2)=2x1x2的标准形的是
62．线性方程组 有解的充分必要条件是α=（ -）
63．设行列式D==3，D1=，则D1的值为（6）
64．设矩阵A=（1，2），B=，C则下列矩阵运算中有意义的是（ABC）
65．若A，B都是方阵，且|A|=2，|B|=-1，则| B|=（）
66．设事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B) >0，则有（P()=l）
67．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ 0.375）
68．下列各函数可作为随机变量分布函数的是
69.下列说法正确的是：（ 在某过程中，若有极限，有极限，则有极限 ）。
70.函数y=－1的反函数是（ y=ln(x＋1) ）。
71.当 x0 时，无穷小量a= 和 =1-的关系正确的是（ 和 a 是等价无穷小）。 
72.如果n阶方阵A与B相似。E为n阶单位矩阵，则（对于任意常数t，则有tE-A与tE-B相似）。 
73.在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（关于直线y=x对称）。
74.极限  （答案：0）
75.当x→0时，函数y=ln(1-x) 是无穷小，与它等价无穷小是（y=-x）
76.对于一元函数连续是可导的（必要条件）.
77.如果F(x), G(x) 都是f(x)  的原函数，那么必有（ F(x) = G(x) + C ）。 
78.当x0时，变量是（无界变量，但不是无穷大）。
79.函数y=sinx – cosx 是（非奇非偶）。
80.f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上有界的（充分条件）。
81.下列函数中原函数为ln(kx)（k不为0） 的是（）。 
82.设A是4×3矩阵，且A的秩r（A）=2，而B=，则r(AB)=（ 2 ）。
83.4阶行列式值等于：（（a2a3－b2b3）（a1a4－b1b4））。
84.行列式 的值为（ 7 ）。
85.函数在[0,+)上的单调性是（ 单调增加 ）。
86.下列说法正确的是：（实数域上的周期函数的周期有无穷多个）。
87.f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上零点定理成立的（充分条件）。
88设A={0,1,2},B={1,2,3},C={3,4,5},则下列
运算结果是空集的是（AC）。
89.函数f(x)= 的间
断点的个数
为（ 3个）。
90.极限的值为( 0 )。
91.对函数 在点x=0处正确的说法是：
（ 在点x=0处是连续可导的 ）。
92.极限 的值为(  2  ).
93.函数y=－1的反函数是( y=ln(x＋1) ).
94.设f(x)是周期为T的周期函数，则下列函数中，周期不为T的是( f(2x) ).
95.下列函数中，不是基本初等函数是().
96.若是的原函数，则有（）. 
97.若曲线y=和
2y=-1+
 在点（1，-1）处相切，其中a,b为常数，
则（ a=-1,b=-1 ）
98.设 A 为n 阶方阵（n3）, 
为A的伴随
矩阵，则下列说法错误的是：( 若A
的秩为1，
则的秩为n-1 ). 
99.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是：（α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1）。
100.积分的值为（ x3+c ）。  
101.函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ x3+x ）。
102.若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则：（δ必可由α，β，γ线性表出）。
103.对于一元函数，可导是可微的（充要条件）。
104.极限 （ 0 ）。
105.设函数，则下列说法正确的是：（ 函数在x=0处的左.右极限均存在 ）。 
106.当时，两个无穷小比较，正确的是（是的同阶无穷小，但不是等阶无穷小）。
107.下列函数不是复合函数的是（  ）。
108.
极限  = 
（ 1/2 ）。
109.f(x)在x0点左连续并且右连续是f(x)在x0点连续的（充要条件 ）。
110.不定积分= （ -  +  C ）
111.齐次线性方程组

的系数矩阵记为A，若存在3阶方阵B≠0，使得AB=O，则（λ=1且|B|=0 ）。
112.若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则（δ必可由α，β，γ线性表出）。                          
113.设Z={1,2,3,4},Y={a,b,c,d},则下列哪个集合表示的是从Z——> Y的函数：（ {<1,a>,<3,c >,<2,b>,<4,d>} ）
114.行列式 的值为（ 7 ）。
115.设随机变量X服从正态分布 N( ),
则随着的增大，概率P{|X - |<}将( 保持不变 )。
116.当x→0时，函数y=ln(1-x) 是无穷小，与它等价无穷小是（y=-x）。
117.数列A 有界是数列A 收敛的（必要条件）。
118.集合为空集的是（ ）。
119.函数f(x)在x0 点的左右极限均存在并且相等是该函数在此点极限存在的（充分必要条件）。 
120.当时，下列变量中是无穷小的是（）。
121.极限的值为（ 2/5 ）。
122.若函数
在x=0处 (  连续，不可导  ).
123.f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上零点定理成立的（充分条件）。
124.函数y=+的周期是（/2 ）
125.设函数f(x)对任意x均满足等式f(1+x)=af(x),且有f¹(0)=b,a,b均为非零常数，则（f(x)在x=1处可导，且f¹(1)=ab） 
126.当x0时，下面哪一组中的两个函数不是同阶无穷小(  和  )
127.设n 元齐次线性方程组AX=O的系数矩阵A的秩为r,则此方程
组有非零解的充分必要条件是（ r<n ）。
128.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（ 当m>n时，必有行列式|AB|=0 ）。
129.指出函数
在x=0处的导数为( 0 ).
130.已知,则dy等于（ ）。
131.极限   的值为（ 1 ）。 
132.下列关于函数f(x)=2x+1(x>0)的奇偶性的说法正确的是（ 奇函数 ）。 
133.不是复合函数的是（  ）。
134.齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是（系数矩阵A必有一列向量是其余列向量的线性组合）。.
135.设n 元齐次线性方程组AX=O的系数矩阵A的秩为r,
则此方程组有非零解的充分必要条件是（ r<n ）。
136.记行列式为，则方程＝0的根的个数为（ 2 ）。
137.设 X 是四阶方阵，且它的行列式 |X| =0 则 X 中（ 必有一列向量是其余列向量的线性组合）。
138.下列说法正确的是（ 设在上连续，且无零点，则在上恒为正或恒为负 ）。 
139.设f(x)是周期为T的周期
函数，则下
列函数中，周期不为T的是
（ f(2x) ）。
140.下列函数中，不是基本初等函数的为（）。
141.设A,B为同阶可逆矩阵，则存在可逆矩阵P和Q，使（PAQ=B）。
142.若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则δ必可由α，β，γ（线性表出）。
143.极限   的值为（ 1 ）。
144.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1 ）。
145. 集合中为空集的是（）。
146.下列说法正确的是y=x2  (x>0)是（偶函数）。
147.设f(x)是周期为T的周期
函数，则下
列函数中，哪一个周期不是T?
（ 答案：
 f(2x) ）。
148．设全集，..是其子集，且，，。则     
149.命题公式的成真赋值为010, 100, 101, 110, 111   
151．设无向图G有12条边，有6个3度结点，其余结点度数均小于3，则G中至少有9个结点．    
152．设(A,)是分配格，若对任意的a,b,cA，如果有ab=ac，ab=a成立，则b=c  
153.函数f(x)=的间断点是（ 1 ）。
154.(arccosx)′=-。
155.=0.
156.=-  + C。
157函数lnx的二阶导数为（- . ）
158函数f(x)= 的间断点为( –1,1,4 ).
159  = ()。
160设A为奇数阶反对称矩阵，则 |A|=( 0 ).
161.=().
162.设方程x=确定 y是x的函数，则dy=(  ).
163.矩阵A=的逆矩阵为,
 A的转置行列式为(  ).
164.已知4阶方阵A相似于B，A的特征值为2,3,4,5,E为4阶单位矩阵，则|B-E|=( 24 )。
165.函数ｙ＝ｘ＋ｅx  上点（ ０，１ ）
166.处的切线方程是(２ｘ－ｙ＋１＝０)。
167.函数f(x)=的间断点是（1）
168.已知方程组无解，则a= （-1）。
169.若4阶方阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B－1－E|＝ （ 24 ）。
170.行列式 的值为（ 7 ）。
171.已知函数f(x) 在 [0，1] 上有定义，a > 0 ,则g(x)=f(x+a) + f(x-a) 的定义域为（ [a,1-a] ）。
172.（ 0 ）。
173.设函数在处x=1可导，则a= 2,b= （ -1 ）。
174.（   ）。
175.设方程有无穷多个解，则a=-2。
176.设矩阵A=,且秩（A）=3,则k=  -3。
177.函数的值域是：（ 0y + ） 。
178. 函数在区间  内是单调增加的.在区间内是单调减少的.
179．设，（x>o）,
则= （  ）。
180．（ -1 ）。
181．设矩阵A满足矩阵方程A2+A－4E＝O，其中E为单位矩阵，则（A－E）－1＝
182.由10，11，……99中任取一个两位数，这个两位数能被2整除的概率为0.5,能被3整除的概率为1/3，既能被2又能被3整除的概率为（1/6）。
183．函数 y=arcsin 定义域是。
184．若，则a= -6，b= 5。
185．5阶行列式
D==（）。
186.=( 1 )。
187.过点（1，2，3）且 平行于向量 s= (1,-4,1) 的直线与平面x+y+z=1的交点为(3.5,-8,5.5),形成的夹角为（arcsin）。 
188．已知向量组，，的秩为2，则数t=2 
189．设A为4阶矩阵，|A|=3，则|-A|=3  
190．设矩阵A=，则与其相似的对角矩阵有或   
191．设齐次线性方程组＝的解空间的维数是2，则a＝1  
192．设事件A，B相互独立，且P（A）=0．2，P（B）=0．4，则P（A∪B）=0.52   
193．设随机变量X的概率密度为 以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X ≤ 1/2}出现的次数，则P{Y=2}=9/64        
194．设随机变量X的概率密度 则常数A=3
195．设x1 , x2 , … , x25来自总体X的一个样本，X ~ N()，则的置信度为0.90的置信区间长度为3.29
_.(附：u0.05=1.645)
196．设总体X服从参数为(>0)的泊松分布，x1 , x2 , … , xn为X的一个样本，其样本均值，则的矩估计值=2
197.函数y=－1的反函数是 （  y=ln( x＋1 ) ）
198.当x0时，变量是（ 无穷小 ）        
199f(x)在x0点左连续并且右连续是f(x)在x0点连续的（充要条件）
200无穷小的代数和仍然是（无穷小）   
201当x+时，函数f(x)=的极限（ 1 ）    
202函数f(x)= 的间断点的个数为：（ 3个 ）
203f(x)在x0点的左右极限均存在是f(x)在x0点极限存在的（必要条件）。
204f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上有界的（充分条件）。      
205f(x)在x0点可导是f(x)在x0点连续的（充分条件）。 
206函数f(x)= 的间断点的个数为：（1个）      
207f(x)在x0点的左右导数均存在并且相等是f(x)在x0点可导的（充要条件）

208函数f(x)= 的间断点的个数为：（ 2个 ）。
209f(x)在x0点连续是f(x)在x0点可导的（必要条件）
210 的值为（4）       
211曲线y=+3 在点P（0，1）的切线斜率为（ 0 ）    
212下列关于连续函数的说法不正确的是（在开区间上连续函数一定有界）。      
213曲线y=在点P（1，1）的切线方程为（ 2x-y-1=0 ）  
214不定积分= （ kx + C ）      
215 当 x0 时，无穷小量a= 和 =1-的关系正确的是：（ 和 a 是等价无穷小）。        
216函数y=+的周期是（ /2  ）       
217不定积分= （ –cosx + C ）     
218 的值为（ 无穷大 ）     
219f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上零点定理成立的（充分条件） 。 
220曲线y=在点P（1，1）的切线斜率为（ 2 ）    
221 的值为（ -2 ）
222不定积分= （  －  +  C ）
223函数y=sinx 在其定义域内是（奇函数） 。         
224函数f(x)=的间断点个数为（ 2 ）  
225不定积分= （ ln|x| + C ） 
226函数y= 在其定义域内是（奇函数）             
227函数的定义域为   
228函数的反函数为y=       
229=13
230的导数为．   
231d–cosx=sinxdx;  
232．拉格朗日中值定理也称为微分中值定理，它可叙述为：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在（a,b）内至少存在一点，使等式f(b)-f(a)= 成立．   
233．微分方程的通解为   
234．行列式的值为-1   
235. 若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo（不可导）。
236.函数f(x)=  的导函数是（  ）
237.函数y=cosx 在其定义域内是（偶函数）。
238.过点（1，1，2）且以n=(1,2,1)为法向量的平面方程为（ x+2y+z-5=0 ）             

239.在5个产品中有3个次品，2个正品。任取2个做不放回抽样，这2个全为正品的概率为（ 1/10  ）。    
240.设f(x)在x=a处可导，则等于（ 2f¹(a) ）。    
241.极限  = （ 1/2 ）                
242. 设函数ｆ（ｘ）＝  ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则
ｆ［ｇ（ｘ）］＝  （   ）。                                                                        
243.带内装有5个白球，3个黑球，从中任取两个球，这两个球都是白球的概率为（  ）  。   
244.函数y=|x| 在其定义域内是（偶函数）。
245.设 X 是四阶方阵，且它的行列式 |X| =0 则 X 中 （ 必有一列向量 ）是其余列向量的线性组合。
246.设随机变量X服从正态分布 N(),则随着的增大，概率P{|X - |<}将(  保持不变  ) 。
247. y=lnsinx的导数为（ ctgx ）。
45.设有5个产品，其中有3只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取到的是一等品“，设事件B为 “第二次取到的为一等品“。则条件概率P(B|A)等于：（ 1/2 ）。
248.下列函数中原函数为ln(kx)（k不为0） 的是：（） 。
249以向量a=(8,4,1)，b=(2,-2,1)为邻边的平行四边形面积为（ 18 ）。
250.极限的值为（ 4 ）。
251. 设A是n 阶方阵， 是 A的伴随矩阵，则|| A| | = (   )。
252.设 A 为n 阶方阵（n3）, 为A的伴随矩阵，则若A的秩为1，则的秩为n-1的说法是：（错误） 
253.设A,B均为n 阶非零矩阵，且AB=O,则：矩阵A的秩和矩阵B的秩（都小于n ） 
254.某种动物从出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4，如果现有一个20岁的这种动物，它
能活到25岁以上的概率为：（ 0.5 ）        
255.已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关，则有a1+a2 ,  a2+a3 ,   a3+a4  ,  a4 – a1（线性无关）  
256.齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是（系数矩阵A必有一列向量是其余列向量的线性组合）。 
257.设Z={1,2,3,4},Y={a,b,c,d},则下列哪个集合表示的是从Z——> Y的函数（ {<1,a>,<3,c >,<2,b>,<4,d>} ）      
258.谓词公式(x)(p(x)R(y))——>Q(x)中的变元x是（ 既是自由变元，也是约束变元 ）。 
259.设n 元齐次线性方程组AX=O的系数矩阵A的秩为r,则此方程组有非零解的充分必要条件是（ r<n ）      
260.由10，11，。。。。。99中任取一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为( 1/3 )           
261.设A 为 n 阶方阵，B是 A 经过若干次初等变换后得到的矩阵，则有：若 |A|=0 ，则一定有（ |B|=0  ）        
262.设A，B为n阶对称阵，AB-BA为（反对称阵）。     
263.M(3,-4,4)到直线 L:  == 的距离是：（  5 ） 。
264.设A,B为两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中正确的是（ P(A-B)=P(A) ） 。
265.设 A,B,C三个事件两两独立，则 A,B,C相互独立的充分必要条件是（ A与BC独立）。         
266.前提 (WQ), QR, R 的结论集是（ W ）。  
二.填空题
1.=   （  0  ） 
2.==  （    ）  
3.函数f(x)=的间断点为（ 0 ）.（ 2 ）和（ -2 ）。
4.=（  2  ）
5.函数sinx 的二阶导数为  （ - sinx ） 
6.函数f(x)=的间断点为（ 2 ）和（ －2 ）
7.=（  1/2  ）
8.函数的二阶导函数为 （  6x  ）
9.函数f(x)=的间断点为（  0  ） 
10.= （  0  ） 
11.函数lnx的二阶导数为（  －    ） 
12.函数f(x)= 的间断点为（  -1  ）.（  1  ）和（  4  ）
13.=（  0  ）
14.函数的定义域为   
15．函数的反函数为y=       
16．=13
17．的导数为．   
18．d–cosx=sinxdx;  
19．拉格朗日中值定理也称为微分中值定理，它可叙述为：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在（a,b）内至少存在一点，使等式f(b)-f(a)= 成立．   
20．微分方程的通解为   
21．行列式的值为-1   
22.=（    ） 
23.=（  0  ） 
24.设f(x)=x(x+1)(x+2)……(x+n),则fˊ(0)= （ n!）
25.设A为n阶方阵，且|A|=-2, 
则 | | = （     ）,  |  |  =  （    ）
26.设A为奇数阶反对称矩阵，则 |A|=（  0  ）
27.=（ ln(sinx+1) + C  ）
28.=（  1/6  ）
29.若任何n维向量X都是方程AX=0的解，则A=（  O (或零矩阵)  ） 
30.在房间中有10个人，分别佩带1到10号纪念章，任选3人纪录其纪念章号码。则这三个号码中最小的为5的概率是（ 1/12 ）, 最大的号码为5的概率是（  1/20  ）。
31. (arccosx)′=（  －   ）          
32.=（  -  + C  ）
33.某电子设备制造厂所用的晶体管由A,B,C三家制造厂提供.A厂的次品率为0.02，提供晶体管的份额为0.15;B厂的次品率为0.01，提供晶体管的份额为0.80；C厂的次品率为0.03,提供晶体管的份额为0.05。这三家工厂提供的晶体管在仓库中是混合的，无区分标志。在库中随机取一个晶体管，发现是次品，那么它由A厂生产的概率为（0.24）,它由B厂生产的概率为（0.64）,它由C厂生产的概率为（0.12）
34.A,B,C均为随机事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,则事件A,B,C全不发生的概率为（  7/12  ）。
35.=（  1/6  ）。
36.若A为n阶方阵，k为常数，而|A|和|kA|分别为矩阵A和kA的行列式则|kA|= （  |A|  ）。
三.名词解释
1.初等函数：
由基本初等函数经过有限次的四则运算和优先次的复合所构成的函数称为初等函数。
2.罗尔定理：
如果函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
（3）f(a)=f(b),则至少存在一点(a,b),
使得f’()=0. 
3.柯西中值定理：
如果函数f(x)与g(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续
（2）在开区间（a,b）内可导；
（3）g’(x)0,x(a,b),则至少存在一点(a,b),
使=
4.鸽巢原理：
如果m个鸽子飞进n个鸽笼中，则至少有一个鸽笼中有k个或k个以上的鸽子。其中k=
5.介值定理：
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且 f(a)  f(b) ,则对于f(a) 和 f(b) 之间的任何一个数 c ，在（a,b）内至少存在一点，
使得 f()=c  ( a<  < b)
6.函数单调性：
设 I 为函数f(x)定义域D内的某一区间，对任意的x1,x2  I，如果当x1<x2时，恒有 f(x1) < f(x2) （或 f(x1) > f(x2) ） ,
则称 f(x) 在区间 I 上是 单调增加的。（或单调减少的）
7.拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导,
则至少存在一点(a,b),使得f’()(b-a)=f(b)-f(a)
8.积分中值定理：
如果f(x)在[a,b]上连续，则在区间[a,b]
上至少存在一点，使得
=f()(b-a).
9.零点定理：
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且
f(a)f(b)<0,则至少存在一点
(a,b),使得f()=0.
10.罗尔定理 ：
如果函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
（3）f(a)=f(b),则至少存在一点(a,b),使得f’()=0.
四、应用题
1\求定积分．
解：=== = －=

2.已知矩阵 A=B=,  
且  A + 2X=B,求矩阵X
解：由 A+2X=B ,可解出X=(B-A)/2
而B-A= - = 
所以X=(B-A)/2=
2.求  
解： = =ln| 1 + x | + C

3.设电阻R 是一个随机变量， 均匀分布在 900欧 ~ 1100 欧。求 R 的 概率密度和落在950欧~ 1050 欧的概率 。
解：根据题意，R 的概率密度为 
f ® =          
P{950  <  R <  1050 } = = 0.5 
4.求
解：=         
     == = - 1            
5.求
解：=                                           
=-2=-2                     
=-2（-）
6.求？
因为==+  
用待定系数法求A,B。两端去分母，得
1=A(x-2)+B(x-1)  令 x=1,得 A= - 1 ；令x=2，得B=1
=   
=ln|x-2| - ln|x-1| + C  
=in|| + C      
7.任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套3卷，另一套4卷，求下列事件的概率：
（1）3卷套的放在一起。
（2）4卷套的放在一起。
解：设 A 表示“3卷套的放在一起”， B表示 “4卷套的放在一起”
3卷一套的放在一起，把3卷看作一个整体，总共有8个位置，不同的方法有 8！种，3卷一套间有 3！种方法， 所以：
 P (A)  =    =  1 / 15       
同理 ：P (B)  =    =  1 / 30 
8.若A.B都是对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充要条件是A和B可以交换。必要性： 设 AB是对称矩阵，去证 A和 B 可以交换。
解：由于 = AB  所以 AB==  =  BA 
    即 A和 B 可交换
充分性： 设A和 B 可以交换，去证AB是对称矩阵。
            由于A和 B 可以交换, 所以有  AB =  BA
          = =  BA  =  AB
           即AB是对称矩阵。
9.根据临床纪录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验结果为阳性“，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)=0.95,P(|)=0.95.现在对自然人群进行调查，
设被实验的人患有癌症的概率为0。005，即P(C)=0.005，求P(C|A)。
解：已知P(A|C)=0.95，P(A|)=1- P(|)=0.05,
P(C )=0.005,P()=0.995,由贝叶斯公式，
P(C|A)==0.087
10.对以往数据分析结果表明，当机器调整的良好时，产品合格率为90%，而当机器发生某种故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整的良好的概率是多少？
设A为事件“产品合格”,B为事件“机器调整良好“。
已知P(A|B)=0.9,P(A|)=0.3,P(B)=0.75,P()=0.25,
要求概率为P(B|A). 
由贝P(B|A)==
=0.9  
11.设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，弦AB( A(a,f(a)), B(b,f(b))与曲线y=f(x)相交于点C, 点C的横坐标 c  (a,b) ,证明：至少 (a,b)，使f’’()=0.
解：由条件知f(x)在[a,c],[c,b](a<c<b)上
分别满足拉格朗日定理的条件，
故1 (a,c), 2 (c,b), 使
=f’(1),   =f’(2) 
成立。因为C在弦AB上，有
=，故f’(1)= f’(2)，
从而f’(x)在[1，2]上满足罗尔定理条件。
故至少 (a,b)，使f’’()=0。
12.若一个行列式的值为0，是否一定有它的某一行或某一列元素全为零？说明理由。
答： 不一定,行列式的值为零只需要它的某个行（列）向量能够被其它行（列）向量先行表示既可。
13.设为事件, 如果,一定有吗?说明理由。
答：不一定,并不能推出，例如：在区间上随机地取一个数，
这是一个几何概率问题，设
，
显然，，但不成立．
14.若互为对立事件，和是否也互为对立事件？ .说明理由。
答：是。互为对立事件的充要条件是，则有，
所以和也互为对立事件。
15.设是三个事件, 如果是相互独立, 
相互独立, 相互独立, 那么是否相互独立? 并举例说明。
答：不一定。我们设
 , 
,
，.
不难看出:
,
,
,
但，
因此，三个事件的关系只是两两独立，不是相互独立． 
16.求微分方程的通解和满足初值条件的特解．
解：将方程分离变量，得  
将两边分别积分，得通解  （C为任意常数）即或  （a为任意常数）将初值条件带入通解中，得．于是特解为：
17.什么是函数单调性 ?
答：设 I 为函数f(x)定义域D内的某一区间，
对任意的x1,x2  I，如果当x1<x2时，
恒有 f(x1) < f(x2) （或 f(x1) > f(x2) ） ,
则称 f(x) 在区间 I 上是 单调增加的。
（或单调减少的）
18.求极限的值？
解：
=
=
19.求函数的导函数？
解:  .
20．求极限的值？
解：设，
则
因为=0，
所以
21. 设随机变量X的概率密度为f(x),求Y=X3的概率密度．
解：由函数y=g(x)=x3解得x=h(y)=y1/3，且有h'(y)=(1/3) y2/3，Y= x3的概率密度为
ψ(y)= (1/3) y-2/3f(y1/3)，y≠0。．
22. 分别写出下面集合{a，{b}}，{1，}，{X，Y，Z}的幂集合．
解：设A={a，{b}}，则(A)={ ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；
设B={1，}，则(B)= { ，{1}，{}，{1，}}；
设C={X，Y，Z}，则(C)= { ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y， Z }，{X，Y，Z}}；
23.求不定积分 
解：
24. 求函数的导函数？
解：

25.求极限的值？
解：
=
=
=
=
26.求函数,的导函数？
解：
27.计算行列式的值？
解:

28.求极限的值？
解：
=
=
29.求函数的导函数？
解:  
   
30.求不定积分？
解：
31.求极限的值？
解：
=
=2
32.求函数的导函数？
解:  
33.设矩阵A= ,  B=,求BA？
解:  BA==
34.求极限的值？
解：=
===2
35.求函数,的导函数？



36.求不定积分？
解:
25．求极限的值。
解：=
==
37.求函数的导函数
解：
   .
38. 求不定积分 ？
解：
39.求函数的导函数？
 
  
  .
40. 求不定积分？
解：
41.求极限的值？
解：设，
则
因为=0，
 所以
42.求函数的导函数？
解: 
43. 求不定积分 ？
解：
44.求极限的值？
解：
==2
45.求函数的导函数？
解: 

46. 求不定积分  ？
解：
47.设，均为上的连续函数，证明至少存在一点，使． 
证明：令，则，故使，即，移项得证 。
48.设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，弦AB( A(a,f(a)), B(b,f(b))与曲线y=f(x)相交于点C, 
点C的横坐标 c  (a,b) ,证明：
至少 (a,b)，使f’’()=0.
证明：由条件知f(x)在[a,c],[c,b](a<c<b)上分别
满足拉格朗日定理的条件，
故1 (a,c), 2 (c,b), 使
=f’(1),    
=f’(2)
成立。因为C在弦AB上，有
=，
故f’(1)= f’(2)，
从而f’(x)在[1，2]上满足罗尔定理条件。
故至少 (a,b)，使f’’()=0。
49.设线性方程组（8）
其中a为实数，试讨论方程组的解？
解：首先考察（8）的系数矩阵A对应的行列式
因为 


 = 所以当，

方程组（8）有唯一解。
当时，增广矩阵为


由于
所以（8）无解。
 当时
 
由于（未知数个数），
所以（8）有无穷多解，可得（8）的同解方程组
（9）
把方程（9）中的移到右边，作为自由未知量，
即得原方程组的全部解。
（其中为任意常数）
50.设在上连续，且，证明：至少存在一点，使得.
证明：设，
则在上连续.
      又,

      若，则结论成立.
      若，
则由零点定理.
51.若图G是不连通的，试证G的补图G’是连通的。
证明：由图G是不连通的，可设图G的连通分支为：G1，G2，…，Gk，k≥2。由补图的定义知，任意两个连通分支间的所有连线都是图G的补图G’中的边。
任取G中两个点u和v，有如下两种情况：
（1）u和v分别属于G的两个不同的连通分支，则uv是G’中的边，因此，G’中存在点u到点v的路（u，v）。
（2）u和v属于同一个连通分支，则在另一个连通分支中取点w，于是，uw和vw都是G’中的边。故G’中存在点u到点v的路（u，w，v）。
综上，G’是连通的。
52.证明：不论b取何值，方程在区间上至多有一个实根.
证明：反证法.设，且在区间上有两个以上实根， 其中两个分别记为，
不妨设，则，
由罗尔定理，在内至少有一点，使.
而在内恒小于0，矛盾。命题成立。
53.设函数和在上存在二阶导数，且，证明  在(a,b)内；
证明：反证法.设（a,b）内存在一点使，
则在上有g(a)=g(x1)=0,
由罗尔定理知在(a,x1)内至少存在一点ξ1使(ξ1)=0.
同理在(x1,b)内也至少存在一点ξ2使(ξ2)=0.
∵(ξ1)=(ξ2)=0
∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在
一点使,这与矛盾，
故在内.
54.证明方程sinx=x只有一个根。
证明：令，
则.
在内单调减少.
 ∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.
而f(0)=0,
有且只有一个根.
即方程sinx=x只有一个根.
55.证明方程－13x－2=0 在 1与2之间至少有一实根。
证明：设 f(x) =－13x－2, 则 f(x) 在闭区间[1，2]上连续， 
又 f (1) = －14     
f (2) =  4  >  0
根据零点定理，在（1，2）内至少有一点 ，使得f () =  0  。 
即：  －13－2  =  0（1<  < 2）
说明方程在1和2之间至少有一实根。
56.设有曲线和直线。记它们与轴所围图形的面积为，它们与直线所围图形的面积为。问为何值时，可使最小？并求出的最小值。
         
                                 
    令，得。
     ，为最小值点。          
          
57.简要回答有界性定理的内容？
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。
58.计算不定积分？
  
           

59.计算不定积分
解：
    
60.求极限
.原式

61.简要回答最大值最小值定理的内容
在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. 若 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续, 则至少存在一点 ξ 1∈ [a , b], 使得 f (ξ 1)是 f ( x ) 的最大值 , ξ 2∈ [a , b], 使得 f (ξ 2)是 f ( x ) 的最小值。
62.证明：xln
解：令  F(x)=xln(x+)－+1。    则  F′(x)=ln(x+)>0,(x>0)
所以，当x0时，F(x)是严格递增函数
因此，当x>0时，F(x)>F(0)=0
63.求斜边长为l的直角三角形中，周长最大的直角三角形
设直角三角形的两条直角边为x.y，则：
      y=         
       直角三角形的周长：Z=x+y+l=x+ +l 
      令： =1- =0  
      则： x=   
      由于所求的驻点唯一，又根据实际问题，必有周长最大的直角三角形，因此，
      当x=,y=时，直角三角形的周长最大。最大周长为(+1)l.
64.设函数，求的最小值点和最小值．

令 得驻点  
     
可知
为的极小值点.由于驻点唯一，可知为的最小值点      
最小值为
65.求不定积分  
解：
66.某产品有一.二等品和废品三种，若一.二等品率分别为0。63 及0。35。求产品的合格率与废品率？ 
令事件A表示产品为合格品，A1,A2分别表示一.二等品，显然A1,A2互不相容。并且 A=A1+A2,由加法公式有：
P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.98 
P()=1-P(A)=1-0.98=0.02 
67.计算
解 ：

68.设，求？
 

69.计算
=
70.求极限   
解 ：
71.证明：当时，？
只需证明。                       
 令                         
 ，在单调递增。      
         ，当时，。即。
72.盒中装有8个乒乓球，其中有6个新的。第一次练习时，从中任取2个来用，用完后放回盒中。第二次练习时，再从盒中任取2个。
(1).求第二次取出的球都是新球的概率？
(2).求在第二次取出的球都是新球条件下，第一次取到的球都是新球的概率？
解：设表示第一次取到 个新球，；表示第二次取到2个新球。则
(1).由全概率公式，得
（5分）
(2).由贝叶斯公式，得 

73. 证明方程sinx=x只有一个根？
证明：令，则.
在内单调减少.
∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0,
有且只有一个根.
  即方程sinx=x只有一个根.
74..证明方程－13x－2=0 在 1与2之间至少有一实根。
设 f(x) =－13x－2, 则 f(x) 在闭区间[1，2]上连续， 又 
f (1) = －14     f (2) =  4  >  0
  根据零点定理，在（1，2）内至少有一点 ，使得f () =  0  。 
        即  －13－2  =  0     （  1  <    <   2     ）
说明方程在1和2之间至少有一实根。
75.设某商品每周生产x单位时，总成本为C（x）=100+2x，该产品的需求函数为x=800-100p (p为该商品单价)，求能使利润最大的p值.
解：


      =
      =

令，得驻点x=300. 因为,所以x=300是L的极大值点也是最大值点.
将x=300代入需求函数得p=5.
76.一电路由串联联接的电阻R和R0组成，电阻R均匀分布在900欧~1100欧之间，电流I=0．01安，R0=1000欧，求电压V=RI+ R0I的概率密度。
解：V=RI+ R0I=0．01R+10，R的概率密度为f(r)=
函数v=g(r)=0．01r+10的值域为（19，21），它的反函数为r=h(v)=100(v-10)。
且有h'(v)=100，故V的概率密度为ψ(v)= 

上一条：吉林大学自考本科 计算机外围设备原理 01352
下一条：吉大自考本科计算机专业英语一 07757